Caleidoscopios: Ángulos y Simetrías

Un caleidoscopio (del griego kalós: “bella”; éidos: “imagen” y scopéo: “observar”) es un tubo que contiene tres espejos que forman un prisma triangular con su parte reflectante hacia el interior, al extremo de los cuales se encuentran dos láminas traslúcidas entre las cuales hay varios objetos de color y forma diferente, cuyas imágenes se ven multiplicadas simétricamente al ir girando el tubo mientras se mira por el extremo opuesto.

Por ANA GALINDO

Recurso para Primaria y Secundaria

Abordamos un curioso experimento que atiende a las leyes de la óptica, combinadas con el arte: color, ritmo, movimiento, diseño, ilusión óptica, composición, e incluso cálculo de probabilidades .... son, entre muchos, los conceptos que podemos trabajar con esta actividad.

¿Qué es un caleidoscopio?

• Un caleidoscopio (del griego kalós: “bella”; éidos: “imagen” y scopéo: “observar”) es un tubo que contiene tres espejos que forman un prisma triangular con su parte reflectante hacia el interior, al extremo de los cuales se encuentran dos láminas traslúcidas entre las cuales hay varios objetos de color y forma diferente, cuyas imágenes se ven multiplicadas simétricamente al ir girando el tubo mientras se mira por el extremo opuesto.
• Forma figuras de singular belleza, las cuales varían en cuanto el caleidoscopio se hace girar lo más mínimo. 
• Dichos espejos pueden estar dispuestos a distintos ángulos: a 45º de cada uno se generan ocho imágenes duplicadas; a 60º se observan seis duplicados; y a 90º, cuatro.
• Aunque lo más común es que un caleidoscopio esté integrado por tres espejos, también puede construirse con dos o más de tres para conseguir distintos tipos de efectos. 

Reflejos ópticos

Pero aunque el caleidoscopio es muy conocido, son pocos los que sospechan la enorme cantidad de figuras diferentes que pueden obtenerse con este juguete. Supongamos que tenemos un caleidoscopio en el que hay 20 trocitos de vidrio y que lo giramos 10 veces por minuto, para hacer que los trocitos reflejados adopten nuevas posiciones. 

¿Cuánto tiempo necesitaríamos para ver todas las figuras que se pueden formar? 

Resulta casi imposible calcular la cantidad de dibujos que pueden generarse con este pequeño artilugio; porque para efectuar todas las combinaciones posibles se necesitarían, por lo menos, 500 000 millones de años.

• El caleidoscopio produce con frecuencia dibujos de singular belleza, que pueden servir perfectamente de motivos ornamentales para tapices, de dibujos para tejidos, etc. 
• El caleidoscopio fue inventado en Inglaterra en el año 1816 por el físico escocés David Brewster.y al cabo de un año o de año y medio penetró en Rusia, donde fue acogido con admiración. El fabulista A. Izmailov, en la revista “Blagonamerenni” (julio de 1818), escribía lo siguiente sobre el caleidoscopio: 

Miro, y ¿qué ven mis ojos? 

En distintas figuras y estrellas,

 Zafiros, rubíes, topacios. 

Y esmeraldas, y diamantes, 

Y amatistas, y perlas.

Y nácar, y todo, ¡ido repente!

Y en cuanto la mano muevo, 

Mis ojos ven algo nuevo 

Extracto del libro " Física Recreativa I " de Yakov Perelman (1936)

OBJETIVOS

• Dar a conocer una manera diferente de ver la geometría, la ley de probabilidades matemáticas, la simetría como fuente natural de belleza. 
• La reflexión de la luz en una danza metódica capaz de formar increíbles formas geométricas llenas de color y expresión. 
• Asombrar, fascinar y alentar a la mente, a ser creativa y sorprender a cada movimiento, creando imágenes irrepetibles.

ACTIVIDADES 

Las actividades en el aula que podemos aplicar a través de la creación o manipulación de los caleidoscopios pueden desarrollarte a partir de los siguientes contenidos:

• Análisis de la información de las imágenes obtenidas en el caleidoscopio.
• Investigación y trabajos sobre estos efectos, con el propósito de estimular la reflexión crítica.
• Aplicación de  herramientas digitales a las actividades de ciencias y matemáticas. 
• Fomento del trabajo en grupo y el intercambio de ideas.
• Desarrollo de la manipulación fina y estímulo de la creatividad.
• Poner de manifiesto la presencia de la Matemática, y en concreto la Geometría, en la vida cotidiana.

Actividad 1: Biografía de Sir David Brewster

Primeramente hemos de conocer a Sir David Brewster, científico escocés dedicado al estudio de la física de la luz y la óptica.

Fue un niño prodigio, a los 10 años construyó un telescopio perfecto, y fue admitido en la Universidad de Edimburgo a los doce años.

Creó el caleidoscopio en 1816, y fascinó a todos en su época.

Actividad 2: Leyes de la simetría

La esencia es simple, un prisma de espejos con la superficie que refleja hacia adentro, haciendo que la luz rebote una y otra vez. Pero tiene unas reglas sencillas pero imprescindibles para obtener hermosas figuras.

Los ángulos que se forman al unirse los espejos entre si, deben dividir a los 360 ángulos de un círculo de manera uniforme, por ejemplo:

• Si dividimos 360 grados entre 90 grados obtendremos un resultado exacto que es 4, lo que significa que obtendremos 4 reflexiones.
• 360 grados entre 60 grados= 6 reflexiones.
• 360 grados entre 45 grados= 8 reflexiones.
• 360 grados entre 30 grados= 12 reflexiones 

Sabemos que todos los ángulos que se forman en cualquier triangulo deben sumar 180 grados, por lo tanto solo tenemos tres fórmulas para crear simetrías perfectas.

1. La formada por el triangulo equilàtero (tiene 3 ángulos de 60 grados)
2. La formada por el triangulo rectángulo isósceles (tiene un ángulo de 90 grados y dos ángulos de 45 grados)
3. La formada por el triangulo rectángulo (tiene un ángulo de 60 grados, uno de 90 grados y uno de 30 grados) siendo ésta la más difícil y hermosa de las reflexiones, por su variedad

Actividad 3: Construir un Caleidoscopio

Despuès de que se haya comprendido perfectamente las leyes de simetrìa, y que los estudiantes conozcan a la perfecciòn los triàngulos que necesitamos para la reflexiòn, se presentan los materiales necesarios para construir el Caleidoscopio.

• Materiales:

Tubo de aproximadamente 20 cm x 5 cm, preferentemente de cartón; tres recortes de espejo, en forma de rectángulo, de aproximadamente 18 cm x 3 cm (se pueden obtener de dos CD que ya no utilices); trocitos de vidrio o cuentas de plástico de colores; dos círculos de acetato del mismo diámetro del tubo; un círculo del mismo diámetro del tubo con una perforación en el centro de aproximadamente 1 cm, de cualquier material similar al del tubo; pegamento universal o silicona; cinta adhesiva de cualquier tipo; papel de colores.

Tècnica: 

1. Une los tres espejos con las caras hacia el centro para formar un prisma triangular, y pega con cinta adhesiva.
2. Introduce el prisma en el tubo y envuelve con cualquier papel delgado hasta ajustarlo y dejarlo fijo en el interior. Ubicar en este paso la base del prisma y revisar que coincida con la base del tubo.
3. Coloca uno de los círculos de acetato y pégalo en la base del tubo en el extremo donde quedó espacio, es decir al otro lado de donde colocaste primero el prisma. 
4. Sobre la tapa de acetato se colocan las piedras y cuentas de colores hasta cubrir toda la superficie.
5. Con el pegamento pega el otro círculo de acetato para sellar la salida de las piedras.
6. En el lado opuesto del tubo pega el círculo de cartón con la perforación en el centro, perfora otro de los círculos de acetato y colócalo por dentro del tubo. 
7. Para finalizar decora por fuera con el papel de colores o con los materiales que prefieras o con pinturas acordes a nuestro gusto. 
8. Al ver por la mirilla y darle vueltas dará comienzo a un precioso espectáculo de formas y figuras preciosas.

HERRAMIENTA TIC PARA CREAR INCREÍBLES CALEIDOSCOPIOS

• Online Kaleidoscope animated Generator Una gran herramienta para trabajar la simetría. Basta con dibujar en el radar virtual y ver como su caleidoscopios animados cobran vida.

 

• Cuando hemos hecho nuestro diseño en el caleidoscopio virtual, podemos realizar diferentes capturas de pantalla en diferentes momentos de su movimiento, y luego las unimos creando una imagen gif en movimiento. Para ello, hemos usado otra herramienta digital online.

OTROS RECURSOS:

✔ Más sitios en los que podemos jugar con caleidoscopios virtuales... 

• Caleidoscopio virtual 1: http://www.educacionplastica.net/caleidoscopio.html
• Caleidoscopio virtual 2: http://www.vam.ac.uk/vastatic/microsites/moc_kaleidoscope/
• Caleidoscopio virtual 3: http://web.imactiva.cl/descargas/mim/luz/swf/07_Caleidoscopio.html
• Caleidoscopio virtual 4: http://www.zefrank.com/dtoy_vs_byokal/index.html
• Caleidoscopio virtual 5: http://www.myoats.com/create.aspx

✔  ENLACES para profundizar más sobre las simetrías, con información clara y muchos ejemplos y aplicaciones:

• http://www.educared.net/concurso2003/1095/webconcurso/webconcurso/vemos_simetria.htm (las bolillas de arriba, del 1 al 6, proponen distintos aspectos relacionados con el tema)
• http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/transformaciones.html (clickeando en cada una de las transformaciones aparecen más detalles y una animación para explorar en qué consiste)

Publican recurso en la Biblioteca Escolar Digital