Itinerarios Matemáticos VIII: Torres. Matemáticas que sustentan paisajes.

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Ana Galindo
@AnaGalindo_
ITINERARIOS MATEMÁTICOS


Desde la antigüedad, nuestros antepasados han construido torres con diferentes objetivos. Uno de ellos y el más común, era para defenderse en las batallas o en las guerras. Desde ellas se podía atacar al enemigo manteniendo una posición ventajosa. Otro motivo para construirlas era acercarse más al cielo, a Dios, como pasó según la historia con la Torre de Babel. Hoy haremos un recorrido virtual por algunas torres más conocidas del mundo, ya sea por su altura, por su pasado o por su belleza.
Detrás de las más atrevidas estructuras, desafiando la gravedad, retando a la indispensable robustez, aparentando una falsa inestabilidad, hay matemáticas ocultas cuya misión es pasar inadvertidas, ocultar el mérito técnico para resaltar la componente artística y creativa.

Los ejemplos de torres que podemos tratar en nuestro "turismo" matemático no se limitan sólo a la arquitectura y obra civil de nuestros días que, sustituyendo a las más impresionantes catedrales, se han convertido hoy en verdaderos iconos atractivos de ciudades y museos capaces de movilizar un gran turismo cultural.

Se trata del delicado equilibrio entre Arquitectura e Ingeniería: una “rival hermandad”. Sin el concurso de sofisticadas respuestas de los ingenieros hubiese sido imposible la resolución de tantos sueños de los arquitectos que impresionaron a la sociedad de su época.


TORRE DE BABEL

La Torre de Babel (en hebreo, מגדל בבל‎ Migdal Babel; y en griego antiguo Πύργος τῆς Βαβέλ, Pirgos tēs Babel) era una significativa edificación mencionada en el judeocristiano, que fue construida por los hombres en tiempos inmemoriales y que se suele asociar con el histórico zigurat Etemenanki de la antigua ciudad de Babilonia. Este edificio, en cuya cúspide estaba la Esagila -templo dedicado a Marduk-, originalmente tenía siete pisos de altura y más de 91 metros, pero pocos de sus restos permanecen en la actualidad.

"La diversidad de lenguas en el orbe puede adjudicarse a la ira de Dios (Génesis 11:7), y tuvo lugar durante aquella remota construcción de la torre de Babel. Puede pensarse, igualmente, que el Creador quiso luego redimirse en la invención de un único lenguaje universal. Optó, me atrevo a formular, por el lenguaje del número y de las formas: la matemática. Galileo entrevió este afán divino cuando dijo que la naturaleza está scritta in lingua matematica. [...]" Por Claudio Salpeter

El historiador español Juan Luis Montero realizó una investigación a fondo sobre el tema y sugiere que la torre tenía en realidad unos 60 metros de altura, ya que el suelo arcilloso de Babilonia no hubiera aguantado la tensión de una torre de 700,000 toneladas de peso. Propone que la Torre de Babel estaba construida con 25 millones de piezas de adobe y ladrillos y tenía una altura de 60 metros, y distribuidos en seis terrazas de 48 metros cada una, además del templo principal que tenía 12 metros, al que se accedía por rampas en forma de espiral.
  • Matemáticas y Literatura: 
En La Biblioteca de Babel, Borges concibe un universo-biblioteca configurado por salas hexagonales, figuras geométricas que se proyectan a lo infinito. En torno a esta proyección de lo hexagonal, palpitan una red de relaciones entre el relato borgeano y el pensar matemático.
ENLACE: http://www.temakel.com/artborgesbabel.htm


GIRALDA DE SEVILLA

Giralda es el nombre que recibe el campanario de la Catedral de Santa María de la Sede de la ciudad de Sevilla
Las invasiones africanas de los siglos XI y XII (almoravide y almohade) trajeron consigo a Al-Andalus una arquitectura y arte musulmán basados en el sillarejo o mampostería entre hiladas de ladrillo, arco polilobulado o de herradura apuntada, bóvedas de mocárabes, y artesonados de lazo y armaduras de par y nudillo.

En este contexto, el Imperio Almohade fijó la capital de Al-Andalus en Sevilla y erigió una grandiosa mezquita, más grande incluso que la de Córdoba, con 17 naves y cinco cúpulas ante el mihrab. Esta mezquita mayor de Sevilla fue destruida para construir la catedral cristiana de estilo gótico, respetando únicamente dos elementos musulmanes: la citada Giralda, reconvertida en campanario cristiano y el Patio de los Naranjos.
Evolución de su construcción
La Giralda en números:
  • La Giralda es un prisma de base cuadrada –un ortoedro- de 13,61 metros de lado.
  • El primitivo alminar mide 51 metros, dividido en siete recintos copulares iluminados por ventanas con arcos lobulados y de herradura. 
  • Antes alcanzaba los 64 metros –todavía tenía el segundo prisma de 6,8 metros de lado y 14 de altura- terminando con una cúpula –el yamur- formado por cuatro bolas de bronce dorado, que se sustituyeron a raíz del terremoto de 1365. Este segundo prisma fue “desmontado” para construir la parte renacentista: el cuerpo de campanas y el Giraldillo. 
  • Las rampas de subida – 35, con escaleras sólo al final, de 17 peldaños- permitían, incluso, subir a caballo. Comenzada su construcción con piedra en 1184, fue continuada con ladrillo.


Ejercicio de matemáticas:


Calcular la altura de la Giralda de Sevilla, sabiendo que su sombra mide 48,75 metros y que en ese mismo instante una persona de 1,8 metros proyecta una sombra de 0,9 metros. 

Curiosidades:



TORRE DE PISA 


La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa
 es el campanario de la catedral de Pisa
Está situada en la Plaza del Duomo de Pisa, en la ciudad del mismo nombre, municipio de la región italiana de la Toscana y capital de la provincia homónima.
Se cree que el constructor fue Bonnano Pisano. La torre comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173.


La torre de Pisa en números:

  • Su altura es de 55,7 a 55,8 metros desde la base.
  • Su peso se estima en 14 700 toneladas.
  • La inclinación es de unos 4°, extendiéndose 3,9 m de la vertical. 
  • Tiene ocho niveles: una base de arcos ciegos con 15 columnas, seis niveles adornados con arcadas abiertas de medio punto, y un campanario en la cima. 
  • La escalera interna, en espiral, tiene 294 escalones. 
Está considerada, junto a la catedral de la que forma parte, una de las joyas del arte románico.
Se mantuvo cerrada durante un tiempo por riesgos de derrumbe, pero más tarde los expertos averiguaron que había dejado de moverse y volvió a abrirse.
Fotos: Ana Galindo

Curiosidades:

  • La razón por la que esta torre empezó a inclinarse, casi desde su construcción, es porque fue construida en un terreno con subsuelo inestable, aparte de ello, sus cimientos fueron débiles y el diseño general de la misma se considera mal hecho, a pesar de que sea tan hermosa.  Los cimientos eran casi inexistentes, tiene 3 metros enterrados y la torre mide 55 metros.
    Dejaron de construir la torre por su inclinación y en 1350 la remataron con la parte superior que tiene campanas.
Fases y fechas de construcción
Un pisano muy famoso que a finales del siglo XVI solía subir a la Torre de Pisa para realizar experimentos científicos sobre la gravedad. Era el gran físico, astrónomo y matemático Galileo Galilei, quien desde el mirador, lanzaba a la vez objetos con diferente peso (plumas, bolas pesadas…) para comprobar si caían a la misma velocidad y llegaban al suelo al mismo tiempo. O al menos, eso cuenta la leyenda…

TORRE EIFFEL

 Fue construida por el ingeniero francés Alexandre Gustave Eiffel

La torre Eiffel es una estructura de hierro pudelado diseñada por Maurice Koechlin y Émile Nouguier, y construida por el ingeniero francés Alexandre Gustave Eiffel y sus colaboradores para la Exposición universal de 1889 en París.
Es la estructura más alta de la ciudad y el monumento, que aún cobrando entrada,  más visitado del mundo, con 7,1 millones de turistas cada año. Con una altura de 300 metros, prolongada más tarde con una antena a 324 metros, la torre Eiffel fue la estructura más elevada del mundo durante 41 años.




Fotos: Ana Galindo

EMPIRE STATE

Empire State Building. New York

El Empire State Building es un rascacielos situado en la intersección de la Quinta Avenida y West 34th Street, en la ciudad de Nueva York, Estados Unidos. Su nombre deriva del apodo del Estado de Nueva York. Fue el edificio más alto del mundo durante más de cuarenta años, desde su finalización en 1931 hasta 1972, año en que se completó la construcción de la torre norte del World Trade Center.

El Empire State es uno de los grandes ejemplos del Art Déco, un movimiento artístico que triunfó en los locos años veinte en Europa y Estados Unidos, y que influyó en muchos campos del arte y la decoración (escultura, pintura, muebles, joyería,…) .
El Art Déco representaba el colmo de la elegancia y la modernidad y por eso cuajó en una ciudad tan glamurosa como Nueva York.
Asombra pensar cómo se levantó el Empire State, porque teniendo en cuenta que los medios de la época no eran como los de ahora, todo se hizo en tiempo record.
Construcción del Empire State
El Empire State en números y otras curiosidades:

  • ¿Sabes cuánto tardaron las obras? Tan sólo 410 días, que son unos 13 meses, para construir 102 pisos de altura. 
  • Para ello hubo que contratar a 3.400 obreros, muchos de ellos inmigrantes venidos de Europa, que trabajaron sin descanso ¡Llevaban un ritmo tan frenético que levantaban una media de cuatro pisos y medio por semana!
  • Tiene 73 ascensores, de los cuales ocho son de alta velocidad.
  • Sus 1.860 escalones unen la planta baja con el piso 102. Claro que si lo tuyo es el deporte, puedes apuntarte a la carrera que se celebra cada año desde 1978 y que consiste llegar a la cima del Empire State corriendo a la máxima velocidad por las escaleras. El récord está en unos 10 minutos.
  • Una vez arriba, las vistas son impresionantes. Dispone de dos miradores, uno en la planta 86 y otro en la planta 102, desde los cuales se puede contemplar toda la ciudad.
  • ¿Cómo se inauguró? El privilegio lo tuvo Hoover, presidente de los Estados Unidos en ese momento. Él fue el encargado de darle a un interruptor que encendió las luces del edificio. Esto resultó algo muy asombroso porque lo hizo desde Washington, a 327 kilómetros de distancia. ¿Magia?… Bueno, más bien fue un truco para darle más emoción al momento. En realidad, cuando Hoover pulsó el botón, alguien en Nueva York apretó al mismo tiempo el auténtico interruptor que encendía el Empire State.
  • Casi todo lo que hay dentro del Empire State son oficinas de grandes empresas. Actualmente acoge a unas mil, lo que equivale a 21.000 empleados.
  • Tiene su propio código postal: el 10118.
Fotos Ana Galindo

TORRE LATINOAMERICANA.


Torre Latinoamericana está siuada en México D.F.

Su construcción se inició en febrero de 1949 para la compañía de seguros La Latinoamericana, finalizando su edificación a principios de 1956 y siendo inaugurada, oficialmente, el 30 de abril de ese año. La Torre Latinoamericana quedó finalizada a principios de 1956, siendo inaugurada oficialmente el 30 de abril del mismo año, y es así como la compañía se mudó a La Torre, en los pisos 4º al 8º. El resto del espacio de oficinas en la torre se ofrecía en alquiler. Al momento de su terminación La Torre Latinoamericana era el edificio más alto de Latinoamérica. Su mirador público, ubicado en el piso 44 ofrece a la gente la mejor vista de la ciudad.

Su ubicación céntrica, su altura (181.33 metros, si se incluye la antena, con 44 pisos) y su historia la han convertido en uno de los edificios más emblemáticos de la Ciudad de México.

Fue el edificio más alto de la ciudad de México desde su construcción en 1956 hasta 1972, obtuvo el record del rascacielos más alto del mundo fuera de Estados Unidos y por lo tanto de América Latina. Además se inauguró como el primer y más grande edificio con fachada de cristal y aluminio, siendo también el único rascacielos en todo el mundo en estar en una zona sísmica lo cual sirvió de ejemplo para la cimentación y construcción de futuros edificios en el mundo.

La Torre Latinoamericana en números:
  • La altura de la torre oficialmente es de 181.33 m.  Para lograr esta altura se empleó un material muy ligero y resistente: el acero clasificado con la denominación 47, considerado como el más innovador en aquel momento..
  • Tiene 3 pisos de sótano que, a la vez, fungen como los cimientos de sus 44 pisos. 
  • El peso total del edificio es de 4.100 toneladas. 
  • La superficie construida es de 27 mil 700 metros cuadrados, y se considera uno de los edificios más seguros de la ciudad
Distribución de los pisos, y esquema comparativo

Curiosidades:
  • Su estilo característico del movimiento moderno hace referencia a los rascacielos estadounidenses, como el Empire State Building de Nueva York,
  • Tiene 3 pisos de sótano que, a la vez, fungen como los cimientos de sus 44 pisos. Son también el cajón hidráulico o “barco” que ha evitado el derrumbe de la torre, ya que ésta flota sobre agua y lodo, los cuales provienen del manto freático y que rodean los cimientos más profundos de la construcción.
  • Ha soportado ya dos terremotos, el de 1957, de 7.7 grados Richter; y el de 1985 de 8.1 grados; además de infinidad de sismos de menor y mediana intensidad.
  • Se estima que un sismo superior a los 9° Richter, tal vez, podría hacer que esta torre se desplomara, sin embargo, gracias a una entrevista de El Universal, sabemos que “Si la torre no existe, la ciudad menos”..
  • Otras de las aportaciones que atrajo consigo la construcción de la torre, fue el uso de un acristalamiento doble en las fachadas, material aislante térmico y acústico.
  • En los últimos tres pisos de la estructura se encuentra un mirador, un museo en el piso 34, otro en el 36 y el restaurante Miralto en el piso 41.

BURJ KHALIFA 


Burj Khalifa. Dubai. Emiratos Árabes

El Burj Khalifa es el edificio más alto del mundo. Mide 825 metros

Burj Khalifa es el edificio más alto del mundo, con 828 metros de altura y 162 plantas. Se trata de un rascacielos conocido como Burj Dubai. Su construcción comenzó el 21 de septiembre de 2004 y fue inaugurado el 4 de Enero de 2010.

Se encuentra en Dubai, ciudad situada a orillas del Golfo Pérsico y una de las más importantes de Emiratos Árabes Unidos. Antiguo puerto pesquero conoció un boom petrolífero que la ha convertido en una de las zonas con más alta renta per cápita del mundo. En los últimos años ha experimentado un gran desarrollo urbanístico, con enormes rascacielos y megalómanos proyectos de islas artificiales.

Ha sido diseñado por el el estudio de arquitectos SOM (Skidmore, Owings and Merril). En su construcción han participado las constructoras Samsung C&T, Arabtec y BESIX.

Burj Khalifa en números:
  • La obra se inició el 21 de Septiembre de 2004, por lo que el tiempo de construcción fue de casi 6 años.
  • Su altura es de 828 metros, con lo cual se convierte en la estructura más alta del mundo hecha por el hombre, y rompió el récord del rascacielos más alto del mundo, que pertenecía a la torre Tapei 101 de Taiwan, cuya altura es de 508 metros.
  • Tiene 160 pisos habitables y un sótano con 2 niveles para estacionamiento. 
  • Su base fue hecha con acero y concreto reforzado. Tiene 192 pilares de 1.5 metros de diámetro y unos 43 metros de longitud cada uno.
  • La edificación puede ser vista desde una distancia de 95 kilómetros.
  • Se emplearon casi 26.000 paneles de vidrio en sus fachadas.
  • Cuenta con 57 ascensores. Los de uso público tienen cabinas para 12 a 14 personas, y ascienden a una velocidad de 10 metros por segundo (unos 36 kilómetros por hora).
  • Tiene un mirador panorámico para el público en el piso 124, y es también el más alto del mundo (442 metros).
  • Se necesitan 946.000 litros de agua al día, para cubrir su demanda en pleno funcionamiento.
  • Su sombra proyectada también es otro récord: llega a medir 2.467 metros (varía dependiendo de la hora del día).
  • Puede haber en su interior hasta 35.000 personas, en un momento dado, cuando esté en pleno funcionamiento.
  • En la parte externa de la planta de acceso, tiene una fuente de 275 metros de longitud, decorada con unos 6.600 reflectores y es capaz de disparar chorros de agua hasta una altura de 150 metros.
  • Se emplearon unas 22 millones de horas/hombre en su construcción.
  • Su peso total se estima en unos 7 millones de toneladas y su costo fue de unos 1.500 millones de dólares.
  • En su imponente espectáculo de inauguración, al que asistieron unos 6.000 invitados, se emplearon 10.000 fuegos artificiales, acompañados de efectos con agua, sonidos y luces estroboscópicas.
Curiosidades del Burj Khalifa:
  • Al momento de su inauguración, su nombre oficial fue cambiado a Burj Khalifa, en honor (y como agradecimiento) al dirigente de Abu Dhabi (emirato vecino a Dubai), el emir Khalifa bin Zayed Al Nahayan, quien prestó dinero a Dubai, para que pudieran continuar con la obra.
  • Durante su construcción, recibió el impacto directo de 2 rayos, soportó un fuerte temblor y fue azotado por veloces ráfagas de vientos. 
  • La inspiración de la estructura, una flor; el concepto estructural está basado en la forma geométrica de una flor, la Hymenocallis blanca de seis pétalos cultivada en la región, y cuya armoniosa estructura dio inspiración al proyecto. Pero, en definitiva, se involucionó para llegar a transformarse en tres pétalos principales como nodos que se definen como entradas a los distintos cuerpos, sean éstos, el hotel, oficinas y residencias y hasta un observatorio en el piso 124.
  • El Burj Khalifa se compone de una base con 3 alas, las cuales ascienden cada una a distinta altura y van haciendo que la estructura del edificio vaya siendo más pequeña. La posición de las alas forma una escalera en caracol con dirección a la izquierda, que rodea el edificio y sirve para contrarrestar los fuertes vientos y las numerosas tormentas de arena en Dubai.
Fotos: Ana Galindo

WIX DE ACTIVIDADES

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  • Realiza las actividades que hemos recogido en nuestra WIX.
  • Trabajo Investigación: "Cuatro de las torres más altas del mundo"
    Propuesta de trabajo de Investigación en torno al Área de Matemáticas.
  • Pincha en la imagen:
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(actividades didácticas y de investigación sobre el tema)

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JUEGO: LAS TORRES DE HANOI


Las Torres de Hanói es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas Este juego de mesa solitario se trata de un juego de ocho discos de radio creciente que se apilan insertándose en una de las tres estacas de un tablero. El objetivo del juego es crear la pila en otra de las estacas siguiendo ciertas reglas. El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos.

La fórmula para encontrar el número de movimientos necesarios para transferir n discos del poste A al poste C es: 2n - 1
[Fuente: Wikipedia]


Según una leyenda, los monjes del templo de una antigua ciudad de la India tienen que mover una torre de 64 discos sagrados de un sitio a otro. Pero los discos son frágiles asi que sólo uno de ellos puede moverse a la vez. Ningún disco puede colocarse encima de otro más pequeño. Y únicamente existe otro lugar en el templo (además del sitio original y el destino) lo suficientemente sagrado para que una torre de discos pueda ponerse ahí.

La leyenda dice además que antes de que los monjes realicen el último movimiento para completar la torre en su nuevo lugar, el templo se reducirá a cenizas y el mundo se acabará. Quizá esta leyenda tenga razón debido a la cantidad de movimientos necesarios para cambiar de lugar los 64 discos. El total de movimientos que se necesitan es 18.446.744.073.709.551.615, exactamente la misma cantidad de granos de trigo que pedía el inventor del ajedrez como recompensa por su fantástico juego. 

Pon a prueba tu inteligencia con el juego de la Torre de Hanoi. El juego de la torre de Hanoi consiste en ir cambiando los discos de la torre 1 a la torre 3 con la condición de que no se puede mover más de un disco a la vez, y que no puede colocarse un disco grande sobre uno pequeño.



FUENTES CONSULTADAS

https://es.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Babel
http://www.curiosodato.net/2014/11/cual-era-la-altura-de-la-torre-de-babel/
http://dondeviajar.republica.com/viajar/las-5-torres-mas-famosas-del-mundo.html
http://www.arteguias.com/torre/giraldasevilla.htm
http://www.darcordoba.com/blog/?p=468
http://matemolivares.blogia.com/2014/052501-la-giralda-de-sevilla-geometria-y-parientes-lejanas..php
https://es.wikipedia.org/wiki/Giralda
http://www.mundoprimaria.com/arte-primaria-mochila/la-torre-de-pisa.html
http://archivo.de10.com.mx/mas-seguros/2014/feliz-cumpleanos-10-curiosidades-de-la-torre-latinoamericana-18375.html
https://www.tecnotemas.com/datos-interesantes-sobre-el-burj-dubai/





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