El canon de Bach y la banda de Möebius. Música y Matemáticas.

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Contemporáneo de algunos de los más grandes matemáticos y científicos de la Historia –Leibniz, Newton y Euler–, Bach vivió en una época de auténtica revolución intelectual a la que, sin duda, contribuyó desde la Música.
Ana Galindo
Recurso para el profesorado


Lo que Newton fue como científico, Bach lo fue como músico 
C. F. Daniel Schubart, (1784/1785)

La relación entre la música y las matemáticas ha fascinado al pensamiento occidental desde la aparición de Pitágoras, el sabio de Samos que fue iniciado por los sacerdotes egipcios en los misterios del cosmos y quien creyó percibir un mismo patrón matemático, una armonía entre las estrellas y las cuerdas musicales. Un prototeorema, famosamente expresado en la frase: 

Hay geometría en la vibración de las cuerdas, hay música en los espacios entre las esferas".

Quizás el mejor representante de esta tradición matemático-musical es Johann Sebastian Bach. 

Probablemente ningún músico haya innovado y aportado tanto a la música en síntesis, organización y maestría técnica que Bach. Su música parece confirmar la idea platónica de que la belleza es orden, una imagen de los principios arquetípicos de la creación. 

Aunque en su época no se le reconoció tanto, ha ido ganándose una gran admiración entre músicos; Beethoven llamó a Bach "el padre original de la armonía", reconociendo la influencia contrapuntística del maestro.

Línea Cronológica

El Canon del Cangrejo, es una pieza musical compuesta en el año 1747 por Bach. Su particularidad reside en que la pieza se toca normal, pero el acompañamiento es la misma partitura pero interpretada al revés (es un palíndromo musical), lo que provoca que con sus notas se forma una Banda de Möebius.

Pero lo verdaderamente interesante es que la cinta de Moebius no fue descubierta hasta 1858 por los físicos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing 111 años después.


¿Es posible que la música se haya adelantado a las matemáticas?



El canon es una composición musical donde un mismo tema sirve a la vez como melodía y como acompañamiento. Éste puede empezar un lapso de tiempo después de aquella (canon circular). 

Desde las Matemáticas hablaríamos en ese caso de una repetición por traslación horizontal (en la partitura el tiempo está en el eje X, el tono en el eje Y). 
  • El acompañamiento puede ir escalonado no en el tono, y no en el tiempo; entonces habría una traslación vertical
  • Ese escalonamiento también puede ser en velocidad y se le llama disminución o aumento; deformación por contracción o por expansión.
Hay una modalidad basada en la simetría, donde el acompañamiento y la melodía están invertidos. Es decir: 
  • la pieza suena igual si se toca desde delante hacia atrás que si se hace desde atrás hacia delante, como un palíndromo musical. 
  • O también: el acompañamiento es la propia melodía marcha atrás. Por estas razones, se le llama canon cangrejo.

Juan Sebastián Bach (1685-1750) en su Ofrenda Musical (1747) despliega su maestría en la composición de varios cánones e incluye el Canon Cangrejo. 

Jos Leys  y Xantox  han creado este precioso vídeo en el que construyen una Banda de Moëbius con su partitura. El resultado es una pieza que enlaza consigo misma en un bucle interminable pero que además se superpone a sí misma en el doble recorrido. 


Hay por lo tanto una correspondencia musical y armoniosa con la singular geometría de dicha superficie.


 Quaerendo Invenietis ("Busca y deberás encontrar") 

En la última etapa de su vida Bach se interesó mucho por la simetría musical, creando una serie de acertijos o problema musicales para sus alumnos. 

Estos acertijos o puzzles están sobre todo presentes en sus cánones y fugas, los cuales debían ser descifrados para poder ser interpretados correctamente, por ello la inscripción de Quaerendo Invenietis ("Busca y deberás encontrar") en su colección Ofrenda musical, BWV 1079, una de las grandes obras maestras de simetría musical y en la cual se revela la visión toral de Bach: la música es una ofrenda a la divinidad, y en ella la gloria divina se transparenta.

Mucha de la música de Bach tiene una cierta propiedad simétrica, como si fuera un flujo de relaciones geométricas, autosemejantes, que podría describirse como fractal.

En el siguiente video (minuto 3:30), el Instituto de Santa Fe ejecuta el "Contrapunctus VII" de Bach y podemos ver una gráfica de la música que muestra la repetición del tema musical con una simetría fractal.

Como bien afirma S. Russomanno (2000), la obra de Bach está plagada de claves numéricas:
  • Al sumar las cifras que corresponden a la posición en el alfabeto de las letras Ba-c-h, se obtiene el número 14 (2+1+3+8) 
  • Las cifras correspondientes a las letras J-S-B-a-c-h suman 41, o sea el revés de 14. 
Esta observación, que podría haber sido una simple anécdota, manifestaba una tácita predisposición hacia las leyes de la simetría y de la armonía universales que proporcionó muchas sorpresas en su obra.



Durante muchos años, Bach no fue consciente del rigor científico de sus obras porque, en palabras de su hijo Carl Philipp Emanuel, “no se dejaba arrastrar por profundas consideraciones teóricas y dedicaba, en su lugar, sus energías a la práctica”
Pero, tras nueve años de negativa, en el verano de 1747, Johann Sebastian accedió a ingresar en la Sozietät der Musicalischen Wissenschaften (Sociedad de las Ciencias Musicales). Era una sociedad elitista, que sólo llegó a contar con veinte miembros, creada por L. C. Mizler (1711 - 1778), un alumno de Bach, que además de músico fue matemático, físico, filósofo y médico. 
El propósito era investigar la relación entre música y matemáticas y, de hecho, el propio Mizler contribuyó al objetivo de la Sociedad publicando un tratado de composición basado en el ars combinatoria de Leibniz.

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Fuentes: 
  • https://es.wikipedia.org/wiki/Banda_de_Möbius
  • http://catedu.es/matematicas_…/CURIOSIDADES/Bach_Moebius.htm |http://www.josleys.com
  • http://catedu.es/matematicas_mundo/CURIOSIDADES/Bach_Moebius.htm
  • http://catedu.es/matematicas_mundo/index.html
  • http://pijamasurf.com/2015/07/johann-sebastian-bach-y-la-fascinante-relacion-entre-la-musica-y-las-matematicas/
  • https://issuu.com/ramoneg/docs/bach?backgroundColor=

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