Fractales, Matemáticas y Arte. Recursos para el aula.

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Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas.
Por Ana Galindo
@AnaGalindo_
Recursos internivelares


El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
  • Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  • Es autosimilar, su forma está hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Las copias son similares al todo: misma forma, pero diferente tamaño. 

Los fractales son un pieza fundamental para la ciencia actual y ha permitido desarrollar y avanzar en el mundo de la informática, por ejemplo, para crear dispositivos cada vez más pequeños, desde móviles a microchips casi invisibles, también en el mundo visual a través de animaciones en 3 dimensiones, nacieron empresas como pixar y se expandieron empresas de video juegos como Electronic Arts o Nintendo.

CONOCEMOS LOS FRACTALES


🍀Fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística.  (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica). Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende solo a un rango de escalas
Ejemplos: Una coliflor, que parece estar a su vez compuesta de pequeñas coliflores,  una nube, cuyos fragmentos parecen mostrar la misma estructura que la nube en su globalidad o un árbol cuyo ramaje parece repetirse a menor escala cada vez que las ramas se bifurcan.

💎Conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.

Una nube está hecha de billones de billones de billones que parecen nubes. Mientras más te acercas a una nube no obtienes algo suave, sino irregularidades a una escala más pequeña. -Benoît B. Mandelbrot
Mandelbrot estudió un área de la matemática desde una perpestiva completamente distinta, y se le considera el padre de la geometría fractal.
Esta propiedad, denominada autosemejanza, es la que define de modo práctico los fractales y que debe ser empleada en su enseñanza cuando no exista un alto grado de especialización matemática.

🏙Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.

🌈El arte de las imégenes fractales. Las imágenes fractales están basadas en matemáticas, calculadas mediante algoritmos matemáticos, coloreadas empleando procedimientos matemáticos, pero no están determinadas por las matemáticas.

Casi todas las expresiones del Arte dependen de las herramientas empleadas en su creación y ejecución: pinceles y brochas, cámaras fotográficas, instrumentos musicales, martillo y cincel, etc. son imprescindibles en la creación artística de su correspondiente disciplina. De la misma manera, el ordenador sólo debe considerarse como una herramienta en el proceso de creación de una imagen fractal.
Podríamos incluso decir que el ordenador es un mero instrumento, necesario para organizar las ecuaciones, parámetros, algoritmos y transformaciones empleados para sintetizar el Arte Fractal. Pero jamás un ordenador podría ser responsable de una obra de arte sin el respaldo de una mente humana que supervise la toma de decisiones en cada fase del proceso.

Sólo existe un Guernica de Picasso, un David de Miguel Ángel, pero pueden coexistir un número ilimitado de copias de cualquier obra maestra fractal sin poder discernir cual de entre todas es la original. En este aspecto, el Arte Fractal guarda similitudes con la Fotografía, una disciplina cuyo reconocimiento como Arte también se vio rodeada de escepticismo en sus inicios.

PROPUESTAS DIDÁCTICAS

Objetivos:
  1. Dar a conocer el concepto de fractal a través de ejemplos clásicos y colectivos. 
  2. Familiarizar al alumno con su construcción, basada en la autosimilitud.
  3. Desarrollar el trabajo manual y visual.
  4. Ensalzar el trabajo cooperativo, y la interdependencia positiva, como forma de conseguir una construcción de un tamaño importante.
  5. Favorecer el intercambio de conocimiento y experiencias entre los participantes del proyecto, a través tanto de redes sociales como de nuestro pinterest.
  6. Educar en valores: solidaridad, respeto, igualdad, …
Contenidos:
Programación didáctica de Fractales

🔁 Construir un triángulo de Sierpinski. 

El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919 para poner de manifiesto características geométricas extrañas, en este caso para demostrar que una curva puede cruzarse consigo misma en todos sus puntos.
Hizo grandes aportes a la teoría de conjuntos transfinitos, sin embargo ahora haremos mención del triángulo que lleva su nombre y cuya particularidad es que tiene área nula y perímetro infinito:




  1. Tomamos un triángulo cualquiera y marcamos sus puntos medios.
  2. Unimos los puntos medios y resulta en 4 triángulos.
  3. Borramos el triangulo central.
  4. Marcamos el punto medio de los triángulos restantes.
  5. Unimos los puntos medios obteniendo 4 triángulos en cada uno.
  6. Borramos el triangulo central.
  7. Marcamos el punto medio repitiendo el proceso anterior….

🔁Fractales poéticos en movimiento.

Son fractales poéticos en los cuales se combina el uso del color, la poesía, la tipografía y la composición visual. Es un trabajo de Julius Horsthuis, El trabajo incluye todo tipo de cuestiones artísticas: preparar las poesías, integrarlas en los escenarios fractales creados matemáticamente y colorearlo y montarlo todo en Mandelbulb 3D, el software especializado en el modelado de este tipo de formas geométricas.



La llegada de una nueva generación de programadores y artistas impulsó la exploración de formas artísticas aparentemente antagónicas a la Geometría Fractal, como en este caso el Cubismo Abstracto.  Cubist, de Jane Parke.

🔁¿Cómo hacer fractales en papel?



🔁 Una alfombra con fractales

Este proyecto “Juegos y joyas fractales”empezó en 2014, en el CEIP Francisco de Goya de Almería Entre los juegos, uno de ellos se basaba en el triángulo de Sierpinski con pegatinas de triángulos, pero … ¿por qué no hacer también la Alfombra de Sierpinski con pegatinas cuadradas? ¿Y si eso se repite una y otra vez en más colegios? ¿Hasta donde podremos llegar? [Por David Crespo]

Este fractal fue publicado por Waclaw Sierpinski en 1916 (pero descubierto anteriormente por su estudiante de doctorado Stefan Mazurkievicz en 1913). Se construye dividiendo un cuadrado en otros nueve de lado 1/3 del primitivo y eliminando el interior del cuadrado que ocupa la posición central, repitiendo este proceso en cada uno de los cuadrados que quedan. 
Lo vemos mejor en esta imagen (fuente Wikipedia):

En cada interacción, el número de cuadrados se ve multiplicado por 8 y en cambio el lado de los mismos es 1/3 del anterior. Se obtiene así un objeto geométrico “hueco” (área nula) pero con perímetro infinito.
  • ¿Cuántas pegatinas necesitaremos en cada interacción? 
  • ¿Cuál es el área y el perímetro de cada interacción?, ¿y sus alturas? 
  • ¿A qué interacción debemos llegar para abarcar nuestra ciudad? 
  • ¿Cuántas pegatinas harían falta?
  •  ¿Qué aplicaciones tiene este fractal? 

Materiales:
  1. 32 fotocopias del tipo M (con esquinas moradas);
  2. 32 fotocopias del tipo V (con esquinas verdes).


FUENTES:
http://matesdedaid.blogspot.com.es/2014/05/propuesta-didactica-con-la-alfombra-de.html
https://topologia.wordpres.com/2014/06/03/proyecto-alfombra-de-sierpinski/

🔁 Un gran fractal de Sierpinski con latas de refresco.

Pasos:
  1. Hemos realizado “triángulos equiláteros” con 3 latas, las cuales pegábamos con silicona. Para su transporte rodeábamos la figura con gomas elásticas y posteriormente dejábamos secar. 
  2. A continuación, se procedía del mismo modo con estas figuras formadas por 3 latas y construíamos figuras con 9 latas 
  3. Así sucesivamente...y así sucesivamente, 
  4. El paso 4 está constituido por una figura de 81 latas formando un triángulo equilátero.

De este modo teníamos los cuatro primeros términos de la sucesión de triángulos de Sierpinski con latas de refresco


🔁 Dibujar Gráficos Fractales

Puedes crear dibujos y gráficos fractales, con efecto humo.
Solo necesitas tener JAVA instalado en tu PC.

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🔁 PUZZLES FRACTALES

Divertido juego en línea, con un gran número de imágenes para construir.

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🔁 Unidad Didáctica Fractales en el aula.

              
🔁 HERRAMIENTAS TIC:
  • Fractal Tool Una aplicación web básica para ayudar a los profesores a explicar fractales a los alumnos.
  • Fractales con el Trazador de gráficas matemáticas.
  • MandelBrot en github.io Podéis hacer click en cualquier zona para que se realice un zoom de la región especificada. Será necesario esperar un poco a que se calcule le nueva estructura para que podamos volver a hacer zoom y comprobar así que no hay límite.
  • FractalLab los hay tanto en 2D como en 3D, siendo esta última opción mucho más sorprendente, aunque el tiempo que tarda en realizar los cálculos también es mucho mayor.
  • fract.al Una aplicación para iPhone y iPad que juega con fractales, animaciones y colores para obtener imágenes sorprendentes.

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